三角関数(sin,cos,tan)

投稿者: | 2022年7月14日

三角関数(sin,cos,tan)

三角関数


高校数学で学ぶ三角関数の公式を纏めてみました。

\(
\sin\theta\\
\cos\theta\\
\tan\theta
\)

\(
三角定規で定義さている角度の値は覚えておきましょう。\\
\sin \theta、\cos\theta、\tan\thetaの定義から求めることもできますので、\\
忘れた時は計算しましょう。
\)

\(
【\sin】
\)

\(
\begin{eqnarray} \sin \frac{ \pi }{ 6 } = \sin 30^\circ = \frac{1}{ 2 } \end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray} \sin \frac{ \pi }{ 4 } = \sin 45^\circ = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray} \sin \frac{ \pi }{ 3} = \sin 60^\circ = \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \end{eqnarray}
\)

\(
【\cos】
\)

\(
\begin{eqnarray} \cos \frac{ \pi }{ 3 } = \frac{ 1 }{ 2 } \end{eqnarray}\\
\)

加法定理


三角関数の偏角の足し算引き算は、下記にて計算します。

\(
\begin{eqnarray}\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\end{eqnarray}\\
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\end{eqnarray}\\
\)
\(
\begin{eqnarray}\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\end{eqnarray}\\
\)
\(
\begin{eqnarray}\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{eqnarray}
\)

倍角公式


\(
\begin{eqnarray}\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\beta\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos2\alpha=cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}\end{eqnarray}
\)

\(
\sin(2\alpha)の導出
\)

\(
\sin(2\alpha)=\sin(\alpha+\alpha)\\
=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\
=2\sin\alpha\cos\alpha
\)

\(
\cos(2\alpha)の導出
\)

\(
\cos(2\alpha)\\=\cos(\alpha+\alpha)\\
=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha\\
=cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\\
\)

\(
\tan(2\alpha)の導出
\)

\(
\begin{eqnarray}\tan(2\alpha)\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}=\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}=\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha)}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}=\frac{\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^{2}({\alpha})}}{\frac{\cos^{2}(\alpha)-\sin^{2}(\alpha)}{\cos^{2}({\alpha})}}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}=\frac{2\frac{\sin(\alpha)}{\cos({\alpha})}}{1-\frac{\sin^{2}(\alpha)}{\cos^{2}({\alpha})}}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}\end{eqnarray}
\)

三倍角公式


\(
\begin{eqnarray}\sin3\alpha=-4\sin^{3}\alpha+3\sin\alpha\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos3\alpha=4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha\end{eqnarray}
\)

半角公式


\(
\begin{eqnarray}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\tan^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\end{eqnarray}
\)

積和公式


\(
\begin{eqnarray}\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}{2}\end{eqnarray}
\)

和積公式


\(
\begin{eqnarray}\sin{A}+\sin{B}=2 \sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\sin{A}-\sin{B}=2 \cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos{A}+\cos{B}=2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\cos{A}-\cos{B}=-2 \sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\end{eqnarray}
\)

三角比の相互関係


\(
\thetaが鋭角(0<\theta<90)の場合、次の数式が成り立ちます。
\)

\(
\begin{eqnarray}\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{eqnarray}
\)
\(
\begin{eqnarray}\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta =1\end{eqnarray}
\)

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