群論とガロア理論

投稿者: | 2022年11月12日

群論とガロア理論

概要


群論について学んでいきます。

群の定義


下記の条件を満たす集合と演算を群といいます。

  • 演算が閉じていること
  • 単位元が存在すること
  • 逆元が存在すること
  • 結合法則が成り立つこと

群の条件が単純な故に、幅広い領域で群構成の定理を活用することができます。

群の派生


群構成となる事象は多くあり、上記の群の定義に該当する群としては、下記のような群があります。

  • 対称群
  • 置換群
  • リー群
  • ガロア群

群の事象


あみだくじの構成も群構成となります。

ガロア理論


4次方程式までは解の方式が存在しますが、5次方程式以上は解の方式が存在するとは限りません。その証明のベースを築いたのがガロアであり、ガロア理論です。群論の流れの中でガロア理論を学ぶことにになります。

\(
2次方程式 (ax^{2}+bx+c=0) の解は、下記の解の公式で求めることができます。
\)
\(
\begin{eqnarray}
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \tag{1}
\end{eqnarray}
\)

2次方程式の解の方式の導出


2次方程式の解の公式は、下記の方程式展開で求めることができます。

\(
\begin{eqnarray}
ax^2 + bx + c &=& 0 \\
ax^2 + bx &=& -c \\
x^2 + \frac{b}{a}x &=& -\frac{c}{a} \\
x^2 + \frac{2b}{2a}x + \frac{b^2}{4a^2} – \frac{b^2}{4a^2} &=& -\frac{c}{a} \\
x^2 + \frac{2b}{2a}x + \frac{b^2}{4a^2} &=& -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}\\
x^2 + \frac{2b}{2a}x + \frac{b^2}{4a^2} &=& -\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2}\\
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &=& -\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2} \label{mul} \\
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &=& \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
x + \frac{b}{2a} &=& \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \\
x &=& – \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{ b^2-4ac} }{2a} \\
\\
x &=& \frac{-b \pm \sqrt{ b^2-4ac }}{2a} \label{kai}
\end{eqnarray}
\)

編集後記


大学生時代、代数学の講座で、最初に習ったのが群論でした。群、環、体の定義から、関連定理を学ぶのですが、非常に抽象的で理解に苦しんだ思い出があります。中間テストでは、150点満点テストで平均30点程度という状況でした。
群論は奥が深く、代数学にとどまらずトポロジー(幾何学)分野にも応用されている理論です。図書館で久々に数学関連の図書を見つけ、群論に関連する図書を久々に読み始めてみました。今読んでも、抽象的で理解には苦しんでいますが、例示の多い入門書を中心に読み進めています。

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