シグマ関数

概要

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シグマ関数の計算式について学んでいきます。

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高校数学では、\sum_{ k = 1 }^{ n } k、\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2、\sum_{ k = 1 }^{ n } k^3が学習範囲となります。\\
\sum_{ k = 1 }^{ n } k^4、\sum_{ k = 1 }^{ n } k^5は参考として記載しました。
\)

\(\sum_{ k = 1 }^{ n } kの展開式\)

---

\(
\begin{eqnarray}
\sum_{ k = 1 }^{ n } k
= \overbrace{ 1+ 2 + \cdots + n }^{ n }
= \frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 )
\end{eqnarray}
\)

\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2の展開式\)

---

\(
\begin{eqnarray}
\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2
= \overbrace{ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 }^{ n }
= \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
\end{eqnarray}
\)

\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^3の展開式\)

---

\(
\begin{eqnarray}
\sum_{ k = 1 }^{ n } k^3
= \overbrace{ 1^3+ 2^3 + \cdots + n^3 }^{ n }
= (\frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) )^2
= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2
\end{eqnarray}
\)

\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^4の展開式\)

---

\(
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n}k^4
= \overbrace{ 1^4+ 2^4 + \cdots + n^4 }^{ n }
=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\end{eqnarray}
\)

\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^5の展開式\)

---

\(
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n}k^5
= \overbrace{ 1^5+ 2^5 + \cdots + n^5 }^{ n }
=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)
\end{eqnarray}
\)

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