４次式のシグマ関数の展開式

概要

---

\(
４次式のシグマ関数である\sum_{ k = 1 }^{ n } k^4の展開式について、学んでいきます。\\
\sum_{ k = 1 }^{ n } k^4の展開式を求めるには、下記計算を行います。
\)

\(5\)乗の差分計算

---

\(k+1\)の\(5\)乗と\(k\)の\(5\)乗の差分を計算します。

\(
\begin{eqnarray}
(k+1)^5-k^5=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k^5 \\
=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \\
\end{eqnarray}
\)

両辺に1からnを代入したものを合算

---

左辺を展開

\(
(左辺)\\
=\sum_{ k = 1 }^{ n } ((k+1)^5-k^5)\\
=\{(n+1)^5-n^5\}+\{n^5-(n-1)^5\}+\cdots+\{2^5-1^5\}) \\
=(n+1)^5-1\\
\)

右辺を展開

\(
(右辺)\\
=\sum_{ k = 1 }^{ n } (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1)\\
=\sum_{k=1}^{n}(5k^4)+\sum_{k=1}^{n}(10k^3)+\sum_{k=1}^{n}(10k^2)+\sum_{k=1}^{n}(5k)+\sum_{k=1}^{n}(1) \\
=5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\sum_{k=1}^{n}k^3+10\sum_{k=1}^{n}k^2+5\sum_{k=1}^{n}k+n\\
\)

左辺、右辺を比較

\(
(n+1)^5-1=5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\sum_{k=1}^{n}k^3+10\sum_{k=1}^{n}k^2+5\sum_{k=1}^{n}k+n\\
\)

\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^4を左辺に展開\)

---

求めたい\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^4\)が展開式に存在するので、左辺に展開

\(
5\sum_{k=1}^{n}k^4=(n+1)^5-1-10\sum_{k=1}^{n}k^3-10\sum_{k=1}^{n}k^2-5\sum_{k=1}^{n}k-n \\
\)

各\(\sum_{ k = 1 }^{ n } \)を展開

\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^3\)、\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2\)、\(\sum_{ k = 1 }^{ n } k\)を展開

\(
5\sum_{k=1}^{n}k^4=(n+1)^5-1
-10\cdot\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2\\
-10\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\
-5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-n
\)

(n+1)でまとめられるように展開

共通因子である(n+1)でくくれるように整理する。

\(
\begin{eqnarray}
5\sum_{k=1}^{n}k^4
\end{eqnarray}\\
=(n+1)^5-10\cdot\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2-10\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-(n+1)\
=(n+1)^5-10\cdot\frac{1}{4}n^2(n+1)^2-10\cdot\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+n)-5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-(n+1)\\
=(n+1)\{(n+1)^4-\frac{5}{2}(n^3+n^2)-\frac{5}{3}(2n^2+n)-\frac{5}{2}n-1\}\\
=\frac{1}{6}(n+1)\{6n^4+24n^3+36n^2+24n-15n^3-15n^2-20n^2-10n-15n\}\\
=\frac{1}{6}(n+1)(6n^4+9n^3+n^2-n)\\
=\frac{1}{6}n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)\\
=\frac{1}{6}n(n+1)(n+\frac{1}{2})(6n^2+6n-2)\\
=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\\
\)

両辺を5で割る

\(
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\end{eqnarray}
\)

編集後記

---

久しぶりに高校受験の数学を学び直しています。学生時代は暗記に頼っていた部分も多々ありますが、久しぶりに学び直してみると、公式が道びだされる展開式の過程を追うにつれ、学生の時以上に理解が深まりました。

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